在1900年，庞加莱曾声称，用他基于恩里科·贝蒂的工作而发展出的同调论，可以判定一个三维流形是否三维球面。不过，他在1904年发表的一篇论文中，举出了一个反例，现在称为庞加莱同调球面，与三维球面有相同的同调群。他引进了一个新的拓扑不变量，称为基本群，并且证明他的反例与三维球面的基本群不同。三维球面有平凡基本群，也就是说是单连通的。他提出以下猜想： 任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。 上述简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻即为：如果我们伸缩围绕一个柳橙表面的橡皮筋，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮筋以适当的方向被伸缩在一个甜甜圈表面上，那么不扯断橡皮筋或者甜甜圈，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。
我们说，柳橙表面是“单连通的”，而甜甜圈表面则不是。 该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响，对于一维与二维的情形，此猜想是对的，现在已经知道，它对于任何维数都是对的。
证明历史
我们说，柳橙表面是“单连通的”，而甜甜圈表面则不是。 该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响，对于一维与二维的情形，此猜想是对的，现在已经知道，它对于任何维数都是对的。
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