从此,他便当上了公主的数学老师。公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进,他们之间也开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。通过它,代数和几何可以结合起来,也就是日后笛卡尔创立的解析几何的雏形。在笛卡尔的带领下,克里斯汀走进了奇妙的坐标世界,她对曲线着了迷。每天的形影不离也使他们彼此产生了爱慕之心。
在瑞典这个浪漫的国度里,一段纯粹、美好的爱情悄然萌发。然而,没过多久,他们的恋情传到了国王的耳朵里,过往大怒,下令马上将笛卡尔处死。在克里斯汀的苦苦哀求下,国王将他放逐回国,公主被软禁在宫中。当时,欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国后不久,遍染上重病。在生命进入倒计时的那段日子,他日夜思念公主,每天坚持给她写信,盼望着她的回音。然而,这些信都被国王拦截下来,公主一直没有收到他的任何消息。
在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后,他永远地离开了这个世界。此时,被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里,思念着远方的情人。这最后的一封信上没有写一句话,只有一个方程序:r=a(1-sinθ)。
国王看不懂,以为这个方程里隐藏着两个人不可告人的秘密,遍把全城的数学家召集到皇宫,但是没有人能解开这个函数式。他不忍看着心爱的女儿每天闷闷不乐,便把这封信给了她。拿到信的克里斯汀欣喜若狂,她立即明白了恋人的意图,找来纸和笔,着手把方程图形画了出来,一颗心型图案出现在眼前,克里斯汀不禁流下感动的泪水,这条曲线就是着名的"心形线"。