运用于三角形中: 设r为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则: d^2=r^2-2rr
运用于拓扑学里: v f-e=x(p),v是多面体p的顶点个数,f是多面体p的面数,e是多面体p的棱的条数,x(p)是多面体p的欧拉示性数。 如果p可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上),那么x(p)=2,如果p同胚于一个接有h个环柄的球面,那么x(p)=2-2h。 x(p)叫做p的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围。
在多面体中的运用: 简单多面体的顶点数v、面数f及棱数e间有关系 v f-e=2 这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。
运用于初等数论里: 欧拉φ函数:φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数。n是一个正整数。 欧拉证明了下面这个式子: 如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等。则有 φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可以证明它。 此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。